كلمات كليدي : منطق گرايي، فرگه، مباني حساب، پارادكس راسل، برهان گودل، منطق صوري، نظريه مجموعه ها
نویسنده : صمد اوسط
آنچه که باعث شده متفکران بخصوص فلاسفه با حیرت در باره «ریاضیات»[1] بیاندیشند و صحبت کنند یقینی بودن قضایای آن است چیزی که در دیگر علوم به ندرت و یا حتی هیچ وقت اتفاق نمی‌افتد که به قوانین و قضایایی دست بیابییم که در هر حال یقینی باشند؛ در حالیکه قضایای ریاضیات مثلا 2+3=5 در هر حال و در هر زمان امری یقینی و صادق است. این ویژگی ممتاز ریاضیات به دفعات فلاسفه و اندیشمندان را ترغیب کرده که علوم مختلف را بر مبنایی استوار کنند که بمانند ریاضیات قضایایی یقینی بدست دهد. چنین خواسته‌ای از زمان افلاطون و ارسطو تا دکارت و اسپینوزا و در این اواخر «آگوست‌کنت» بوده‌است.[2] اما جالب است که برخی چون لایبنیتز (پیشتر) و ددکیند[3] و فرگه[4] و راسل[5] (بعدها)، همه یا بخش‌هایی از ریاضیات را قائم بر مبانی منطقی دانستند. به این تفکر اصطلاحا «منطق‌گرایی» می‌گویند. در این میان نقش فرگه پررنگ‌تر است. وی (و همچنین ددکیند) ادعا داشت منطق‌گرایی برای بخشی از ریاضیات(علم حساب)[6] برقرار است. به عبارتی از نظر او علم حساب شاخه‌ای از منطق است.
ادعای منطق‌‌گرایان دارای دو قسمت است:
الف: معرفت ما به قضایای ریاضی کاملا با استفاده از براهین و استدلال‌های منطقی و بر اساس حقایق پایه‌ای منطق پی‌ریزی شده‌است؛
ب: مفاهیم و اشیاء بکار رفته در چنین قضایایی ماهیتی کاملا منطقی دارند.
بنابراین ادعا فرگه عقیده داشت که علم حساب به غیر از مفروضات منطقی نیازمند هیچ فرض دیگری نیست؛ یعنی اینکه مفهوم عدد، از مفاهیم منطق محض است؛ و اینکه اعداد، اشیاء منطقی می‌باشند.
این دیدگاه در مورد ریاضیات بدون یک دگرگونی بنیادین در منطق که بیشتر در آثار فرگه در اواخر قرن نوزده نمایان شد، امکان تحقّق نداشت. پیش از فرگه، استدلالات ریاضیاتی کنونی نمی‌توانستند تحت صورتهای منطقی مرسوم انجام پذیرند: این وضعیت اعتبار نسبتا زیادی به آموزۀ کانت می‌داد مبنی بر اینکه استدلال ریاضیاتی برهانی محض نیست، ولی بر ساختارهایی استقرار دارند که بر مبنای درک شهودی است. منطق جدید، به هر حال، این امکان را ایجاد کرد که استدلالات ریاضیاتی متعارف را در فرم و شکل کاملا منطقی ارائه دهد همانگونه که فرگه از سویی و راسل و وایتهد از سوی دیگر ارائه تفصیلی آن را برعهده گرفتند.[7]
از زمان ارسطو، چنین بوده است که ریاضیات به عنوان علم مربوط به کمیّت «منفصل»[8] و «متّصل»[9] لحاظ شده است. همهٔ اعداد جزء گروه اول و خطوط و اشکال هندسی نیز جزء گروه دوم به شمار می‌آید.در قرن 17 و اوایل قرن 18 بطور کلی تصوّر می‌شد که معرفت ما به حقایق ریاضیاتی منحصرا مربوط می‌شود به «روابط مُثُل»[10](دیدگاه افلاطون) هرچند اگر این مُثُل توسط برخی شیوه‌های تجرید(انتزاع) از چیز‌های تجربی بدست آمده باشند(دیدگاه ارسطویی). این خصوصیت توضیح می‌داد که چگونه معرفت مورد نظر یقینی و مستقل از حقایق تجربی است (یک چنین نظریه‌ای به عنوان مثال هم نزد لایبنیتز عقل‌گرا و هم هیوم تجربه‌گرا رایج بود). کانت برای برانداختن این وضعیت استدلالاتی (که بیشتر اقناعی بود) ارائه داد: به نظر او، نه فقط به خاطر اینکه منطق غیر مُکفی بود در نمایش دادن استدلالت ریاضیاتی با قوانین خود، علاوه بر آن چنین استدلالات ریاضی نیاز به توجّه و دقتی بیش از مُثُل یا مفاهیمی دارد که نوعی تجسم ذهنی از اشیای تحت مفاهیم ریاضیاتی است که آن زمان جزیی اساسی و گریز‌ناپذیر حساب می‌شد.[11]
در اوایل قرن نوزده در میان ریاضیدانان هرچند در یک گروه محدودی، اعتماد بر نظریه سنتی کانتی یا پیش‌‌ـ‌کانتیِ ماهیّتِ معرفت ریاضیاتی، با توسعه قالب‌های جدید هندسه متزلزل شد: اینها نشان داد که نه تفکرات صرف در مورد روابط مُثُل (یعنی روابط مفاهیمی مثل نقطه، خطّ، فاصله، و غیره) و نه متوسل شدن به درک‌شهودی[12] نمی‌تواند در مورد حقایق قضایای هندسی تصمیم‌گیری کند.[13] هم‌زمان، کوشش‌هایی شروع شد برای پیدا کردن مبانی جدیدی برای آنالیز- یعنی تئوری اعداد حقیقی، توابع مربوطه و روشهای حدّی- که باید از هر نوع نیاز غیر‌ضروری به یک درک‌شهودی از مقدار متصل(پیوسته) مستقل می‌شد. باید متذکر شد که حساب و دیفرانسیل کشف شده توسط نیوتن و لایبنیتز بر مبنای مبهم مفهوم بینهایت کوچک بود که نوعا بصورت هندسی ارائه می‌شد. برای مثال در انتگرال‌گیری در ایجاد مستطیل‌های خیلی کوچک برای محاسبه مساحت زیر منحنی از این واژه (بینهایت کوچک) استفاده می‌کردند.[14]
ددکیند با تبیین اعداد گویا وحقیقی به کمک اعداد طبیعی، نظریه اعداد جبری را گسترش داد. به نظر او همه شاخه‌های ریاضیات که بر مبنای نظریه اعدادجبری هستند قابل تحویل به منطق می‌باشند به عبارتی «قسمتی از منطق» می‌باشند.[15] سخن معروف او در این باره: « من قصد دارم اشاره کنم به این که من «عدد-مفهوم»[16] را کاملا مستقل از مفاهیم یا شهودات فضا و زمان در نظر می‌گیرم، یعنی اینکه من آن را نتیجه بی‌واسطه قوانین فکر و اندیشه[17] می‌دانم». نحوه‌ای که او نظریه اعدادجبری خودش را توسعه می‌دهد به ما اجازه می‌دهد که نتیجه بگیریم که هم مفهوم عدد و هم قضایای علم حساب را، و همچنین مفاهیم و قضایای نظریه‌های دیگری را که ذکر میکند ، به عنوان نتیجه مسلم ویقینی قدرت و توانایی بنیادی ذهن و فکر تلقّی میکند. توانایی که می‌تواند مجموعه‌های اشیاء متعلق به فکر را (که خود این مجموعه‌ها نیز به مثابه این اشیاء اند) شکل بدهد؛ و به نظر او بدون این توانایی هیچ چیز امکان‌پذیر نیست.
این نوع برداشت از نظریه منطق‌گرایی – یعنی ، نه مفاهیم و نه معرفت ریاضیات یا قسمتی از آن نیازمند هیچ منشاء اولیه‌ای نیست، ، در نتیجه چیزی است که تماما بوسیله فکر و اندیشه نظام‌مند(سیستماتیک) بدیهی فرض شده- ممکن است نظریه همه کسانی تلقی بشود که آن ادعا را کرده‌اند، و هر نوع اختلاف معرفت‌شناسانه یا مابعدالطبیعی بین آنها ممکن است به مهارت آنها در تشخیص بدیهیاتِ مفروضِ اندیشه برگردد.
مبانی منطق‌گرای حساب
مشکل اصلی برای تحویل حسابِ «اعداد صحیح»[18] معمولی به منطق، این بود که چگونه می‌توان
1- مفهوم کلّی اعداد
2- خود اعداد به صورت منفرد
3- طرق استدلالی که برای اثبات ویژگی‌های ریاضیاتی آنها کافی باشد،
را از اصول منطق اخذ کرد. مناسب است در اینجا اولین راه‌حلی که توسط فرگه (1884) پیشنهاد شد، ملاحظه کنیم، که اساسا با راه‌حل راسل مطابقت داشت. همچنین بطور مختصر با روی‌کرد نسبتا متفاوت ددکیند مقایسه خواهدشد.
فرگه دست به کار شد تا یک سیتم صوری قابل اجرا و کاملا نظام‌مند و کلی را ایجاد کند که این سیستم همه مفاهیم و فرایند‌های منطقی را بصورت کدها و علائم نمایش دهد: کتاب «مفهومْ نگاشت»[19] او که آن را به عنوان « زبان صوری برای اندیشه محض» وصف کرده است (1879). او با وظیفه روشن‌سازی چگونگی تعریف اعداد اصلی در چارچوب یک چنین سیستم صوری مواجه شد. حال برای فرگه همانند ددکیند، یک قانون منطقی محوری بوسیله مفهوم مجموعه به بازی گرفته خواهد شد. توصیف دستگاهِ(سیستم)[20] ددکیند توسط مجموعه با بیان خود در زیر آمده است:
« دستگاهی مانند S هنگامی کاملا مشخص و معیّن می‌شود که در ارتباط با هر شیء مشخص شود که آیا این شیء عضوی از S است یا نه. از این رو دستگاه S همان دستگاه T تلقی می‌شود اگر هر عضو از S همچنین عضوی از T باشد و هر عضوی از T عضوی از S باشد.»
به هر حال به نظر فرگه چنین مفاهیمی از دستگاه و مجموعه و تناظر[21] در منطق، غیر معمول هستند و نمی‌توانستند (توسط ددکیند) به مفاهیم منطقی پذیرفته شده، «فروکاسته»[22] شوند. در نتیجه فرگه برای پایه‌های منطقی مفاهیم مجموعه و عضویّت، بر اصطلاح منطقی «مفهوم»[23](وصف) که خود آن را ایجاد کرده بود، تکیه کرد. این اصطلاح فرگه (مفهوم یا وصف) نیاز به توضیح دارد.
مفهوم(وصف) در منطق فرگه
گزاره‌های منطقی را تا پیش از فرگه به صورت موضوع و محمول نشان میدادند مثلا در جملات «حسن انسان است.» و «حسن پدر حسین است.» موضوع در هر دو «حسن» و محمول در اولی «انسان است» و در دومی «پدر حسین است» می باشد. فرگه این دیدگاه را متحول ساخت. از نظر او عالَم که منطق نشان دهنده آن است از «اشیاء» و «مفاهیم» تشکیل شده است. اشیاء، همان ذوات خارجی مانند حسن، علی، گل و ... می‌باشند که در عالم خارج موجودند و مدلول اسماء خاص‌اند(بخش اسمی). و «مفاهیم» یا به عبارتی اوصاف و ویژگی‌هایی که بر اشیاء عالم حمل می شوند. مفاهیم بدون در نظر گرفتن اشیاء خارجی بصورت ناقص و ناتمام هستند؛ در گزاره «حسن انسان است» عبارت «... انسان است» یک جمله ناقصی است که با حسن(مدلول لفظ حسن) کامل می‌شود. عبارت «... انسان است» بخش محمولی نام دارد.[24]
فرگه مفاهیم(اوصاف) را به صورت تک موضعی دو موضعی و سه موضعی و ... تعریف میکند. در دو جمله بالا «... انسان است» تک موضعی و «... پدر ... است» دو موضعی می‌باشد. اوصافی مانند «پدر بودن» و «برادر بودن» و ... که بین دو یا چند شیء برقرار می‌شود، اوصاف رابطه‌ای[25] نام دارد.
حال فرگه مجموعه را با این تحلیل جدید، اینگونه تبیین میکند که مجموعه در واقع یک مفهوم(وصف) تک موضعی است. زیرا که مجموعه عبارت است از اشیائی که یک ویژگی مشترک دارند یعنی قضیه‌ای که در بخش اسمی آن اعضای مجموعه و در بخش محمولی(مفهوم) آن ویژگی مشترک آنها قرار می‌گیرد. بطور مثال مجموعهٔ اسب‌های سفید عبارت است از قضیه‌ای که بخش محمولی آن تک موضعی «... سفید است» می‌باشد. قابل ذکر است که در بین ریاضیدانان ابتدا کانتور و سپس بقیه از جمله ددکیند و فرگه به تبع او اعداد را بصورت مجموعه تعریف کردند. آنها عدد 3 را مجموعه مجموعه‌هایی می‌دانستند که سه عضوی هستند. پس 3 عبارت است از مجموعه‌ای که شامل: مجموعه سه عضوی انسان، مجموعه سه عضوی اسب و مجموعه سه عضوی ماهی و ... می‌باشد. به بیان دیگر « عددِ 3» برابر با مجموعهٔ مجموعه‌های سه عضوی است.[26] از آنجایی که مجموعه توانست به راحتی با اصطلاح منطقی «مفهوم» تبیین بشود پس عدد، اساسی‌ترین عنصر حساب، نیز به راحتی به منطق فروکاسته می‌شود.[27]
گسترش به حوزه‌های دیگر ریاضیات
بعد از کار ابتکاریی که توسط ریاضیدانان در زمینه اعداد صورت گرفت، گسترش این نتایج به حساب اعداد گویا، حقیقی و مختلط مشکلات اساسی جدیدی را بوجود نیاورد.
اما در مورد هندسه نکته جالبی وجود دارد. فرگه هرگز نظریه منطق‌گرایی خود را به هندسه گسترش نداد؛ اما تمایل داشت که از یک نگاه خاصی این گسترش را در هندسه نیز به اجرا بگذارد. پیشرفت‌های قرن 18 در مورد هندسه‌های نا‌اقلیدسی هندسه‌های گوناگونی را با اصول موضوعه متفاوتی بوجود آورد. وقتی یک نظریه هندسی با عنوان نوعی از انواع ساختارهای هندسی با اصول موضوعه مختص خودش، مورد نظر قرار می‌گیرد، یه نظر فرگه با برهانی شدن اصول موضوعه این نوع هندسه توسط منطق محض، قضایای حاصل از آن اصول نیز تحویل می‌شوند؛ و در نتیجه کل یک نظریه هندسی به منطق فروکاسته می‌شود. راسل و وایتهد در کتاب «مبانی ریاضیات»[28] از این نظر حمایت کرده‌اند. قبل از آنها ددکیند و ریمان نیز چنین عقیده‌ای داشتند.
ارزیابی نقاط ضعف نظریه
هرچند این نظریه که علم حساب جزئی از منطق می‌باشد بطور کاملا صریح توسط فرگه(1884، 1893، 1903) و توسط راسل (1903) اظهار شد، اما به سختی می‌توان مضمون واقعی این نظریه را مشخص‌کرد؛ و آیا می‌توان مسلم گرفت که هر دو به چیز یکسانی اشاره می‌کردند. با توجه به این گفته‌ها سؤالاتی بروز می‌کنند: ما توسط منطق چه چیزی را باید درک کنیم؟ ملاک ما در این ادعا که یک فرض یا یک مفهوم اساسی و یقینی متعلّق به منطق است یا نه چیست. و از آنجایی که یک قسمت مهم این نظریه، جنبه معرفت شناسانه آن است- ادعای اینکه معرفت ریاضیاتی در ماهیت خود کاملا منطقی است- یک نفر می‌تواند بطور طبیعی توقّع داشته باشد که خود مبانی معرفت منطقی توضیح و شرح دقیق و رضایت‌بخشی داشته باشد. به صورت ساده‌تر شخص می‌تواند از منطقی‌گرا بپرسد: حال که شما ریاضیات را به منطق بر‌می‌گردانید چه دلیلی بر یقینی بودن قضایا و اصول منطق ارائه می‌دهید؟
در مورد سوال از این ادعا که چگونه چیزی(مثلا علم حساب) متعلّق به منطق می‌شود، فرگه حرفی برای گفتن ندارد؛ راسل تأملات نسبتا بیشتری دارد که خیلی رضایت بخش نیست. و در مورد این سؤال که شخص انتظار و توقّع توضیحی در مورد پایه معرفت منطقی ما را دارد، فرگه و راسل از توضیح در مورد آن ابا می‌کنند. هر دو قبول دارند که منطق‌گرایی مخالف با دیدگاه کانت است.[29]
اما اولین نشانه‌های افول این نظریه با کشف تناقض در منطق مجموعه فرگه نمایان شد؛ فرگه و کانتور عقیده داشتند که هر «ویژگی»[30] مجموعه‌ای راتشکیل می‌دهد. از این گفته می‌توان نتیجه گرفت که برای ویژگی «مجموعهٔ همه مجموعه‌ها» باید مصداقی(مجموعه‌ای) باشد راسل با استفاده از این تعریف ارائه شده برای مجموعه تناقضی را در نظریه مجموعه‌ها آشکار کرد.[31] فرگه خود سر‌انجام به این نتیجه رسید که نظریه منطق‌گرایی حساب را رهاکند. و در عوض پیشنهاد داد که نه تنها قضایای حساب ترکیبی پیشینی هستند (نظر کانت) بلکه حقیقتا باید بر مبنای معرفت هندسی پایه‌ریزی شوند. دیگران در هر صورت – مخصوصا راسل، رمزی[32] و کارنپ[33]- احساس کردند که نیازی به ترک نظریه منطق‌گرایی نیست ، بلکه تن به اصلاح دیدگاه خود از منطق دادند، و کوشش خود را برای غلبه بر تناقض صرف کردند. در میان منطق‌دانان اصلاحیهٔ معروف و دقیق منطقی عبارت بود از «نظریه انواع»[34] راسل؛ البته راه‌حل ارائه اصل موضوع برای نظریه مجموعه‌ها، که ابتدا بوسیله زرملو[35] مطرح شد، توانست به خوبی شکل منطقی برای خود ادعا کند.[36]
دومین شکست این نظریه خیلی مهم بود. ابتکار خود فرگه در ارائه منطق به طریق کاملا صوری(فرمولی) امکان کاربرد روشهای استدلال ریاضیاتی را برای ساختارهای منطق صوری بوجود آورد. هیلبرت نقش اساسی را در تعهد به انجام چنین کاربستی ایفا کرد. این روند نسبتا تحول اساسی در نوع نگرش ما به خود منطق ایجاد کرد. برای تکمیل نظریه صوری(فرمولی) کردن منطق بایستی هیلبرت سازگاری این سیستم را ثابت می‌کرد.[37] اما گودل[38] با قضایای معروف خود(قضایای اول و دوم گودل) آرزوی فرگه و هیلبرت را نقش بر آب کرد. همچنین این قضایا تاثیر به سزایی در تحقیقات منطقی، ریاضیاتی، علمی، فلسفی برجای گذاشت.
قضیه اول گودل بطور ساده و شهودی در بیان این است که اگر ما نظریه‌ای سازگار در مورد علم حساب داشته باشیم، آن نمی‌تواند کامل باشد؛ یعنی ما در درون این سیستم می‌توانیم قضایا و جملات صادقی در باب حساب به کمک اصول موضوعه آن بسازیم در حالیکه نمی‌توانیم صادق بودن آنها را درون این سیستم اثبات کنیم. گودل این حالت نظریه‌های صوری‌سازی را «ناتمامیت»[39] نام نهاد.[40] قضیه دوم بر آن است که اگر یک نظریه صوری(سیستم صوری) داشته باشیم، بطور مثال مجموعه اصول موضوعه‌ای از حساب به همراه تعدادی حقایق پذیرفته شده درباره قابلیت اثبات‌پذیری، اگر نظریه مورد نظر سازگار باشد، در اینصورت خود نظریه(سیستم) نمی‌تواند سازگاری خودش را به اثبات برساند.[41]