پارادکس راسل Russell

كلمات كليدي : پارادكس راسل، تئوري طبقات، اصل دور باطل، منطق گروي، نظريه مجموعه ها

نویسنده : صمد اوسط

پارادکس از وا‍ژه‌ یونانی paradoxon است[1]. که متشکل از دو واژه «پارا» و «دوکسا» در مجموع به معنای «دور از باور» است. که به معنی تناقض‌نما، با هم ضد و نقیض‌‌‌ بودن،‌ در کلام آن است که قسمتی قسمت دیگر را باطل ‌کند[2].

لفظ پارادکس در نوشته‌ها(بویژه نوشته‌های اروپایی) به چند معنی بکار می رود که بطور خلاصه به آنها اشاره می‌کنیم:

1- امر غیرعادی و عجیب: مطلبی که خلاف عقاید عمومی باشد، با قطع نظر از اینکه عقلا و منطقا صحیح باشد یا نباشد. مانند قول کپرنیک در باره مرکزیت خورشید، زمانی که مردم به مرکزیت زمین باور داشتند. پارادکس به این معنی را در فارسی خرق اجماع گوییم.

2- مساله فراعقلی در فلسفه: مساله‌ای که عقل نتواند هیچ راه حلی برای آن پیدا کند. مثلا کی یر کگور[3] در بحث ایمان، به مسئله خدا بودن عیسی اشاره می‌کند و آن را یک پارادکس می‌داند که شخص با ایمان باید در هاله‌ای از بی‌یقینی به آن ایمان بیاورد زیرا ایمان همواره آغشته به حالتی از شک است.

3- تناقض منطقی: که پارادکس راسل از این مورد می‌باشد.

4- شبهه‌های فلسفی: که شبهه زنون[4] از آن مورد است.

5- مغایرت و اختلاف: که اعم از تناقض است.[5]

از زمان یونانیان بحث پارادکس مطرح بوده‌ است، پارادکس زنون و پارادکس‌ دروغگو[6] نمونه‌ای از آن می‌باشد. در اعصار مختلف مخالفان یک نظریه برای به چالش‌ کشیدن آن سعی‌ می‌کردند پارادکسی را در مبانی و یا نتایج آن نظریه ارائه کنند تا از این طریق ضعف و نادرستی آن نظریه را نشان ‌دهند. پارادکس‌ها در نگاه اول به یک سرگرمی می‌مانند تا به یک مسئله علمی. اما واقع امر این است که وجود پارادکس در یک نظریه علمی نشان‌دهنده ضعف آن است. بنابراین برای حفظ نظریه باید راه ‌حل مناسب پارادکس را ارائه داد.[7]

دراواخر قرن 19 و اوائل قرن 20 منطق‌گروی[8] در فلسفه به وسیله فرگه[9] و راسل پدیدار شد که البته این امر از زمان لایبنیتز[10]درقرن 17و به دنبال آن ددکیند[11] و پئانو در قرن 19 شروع شده بود اساس آن این بود که ریاضیات باید به منطق تحلیل شود به عبارت دیگر مبانی ریاضیات را از قوانین منطق بتوان اخذ ‌کرد. البته ابتدا تصور فرگه بر این بود که منطق حالتی از ریاضیات است و در این مورد تلاش بسیاری کرد تا اینکه متقاعد شد که امر به عکس است. برای شروع فرگه عدد را بوسیله مجموعه معرفی کرد و از آنجایی که بین نظریه مجموعه‌ها و منطق ارتباط خاصی را تصور می‌کرد و یا بهتر است گفته شود قوانین مجموعه‌ها را همان قوانین منطقی می‌انگاشت لذا او خواست ریاضیات و ابتداء علم حساب را بوسیله مجموعه‌ها تبیین‌ کند [12]. به این ترتیب شروع به تالیف کتابی کرد به نام قوانین بنیادی علم حساب که در آن اساس ریاضیات را نظریه مجموعه‌ها قرار داد. درست بعد از آنکه فرگه آخرین جلد اثر عظیم دو جلدی خود در باره مبانی حساب را تکمیل کرده بود، راسل که به گفته سول‌کریپکی[13] هیچ‌کس به اندازه راسل در دیدن و پیدا‌کردن پارادکس چشم تیزبینی نداشته‌است، توسط نامه‌ای تناقضی را که در نظریه مجموعه‌ها یافته بود به اطلاع فرگه رساند فرگه در پایان کتاب خود با جملات متاثرکننده و کاملا توأم با خویشتن‌داری بدین‌گونه به نامه‌ راسل اشاره کرد:

«برای یک دانشمند هیچ چیزی نامطبوع‌تر از آن نیست که به محض اتمام کاری مبنای آن را در حال فروپاشی ببیند. نامه‌ای از آقای راسل در زمانی که کتاب تقریبا آماده سپردن به چاپخانه بود، مرا در چنین وضعی قرار داده‌ است.[14] »

این مسئله باعث شد فرگه از چاپ جلد سوم کتاب خود صرف ‌نظر کند.

البته قبل از راسل پارادکسهایی شبیه به پارادکس راسل در نظریه مجموعه ها توسط خود کانتور(اولین نظریه پرداز مجموعه‌ها) در سال 1895 و همچنین بوسیله بورالی فورت[15] در سال 1898 مطرح شد.[16]

توضیح پارادکس ‌راسل

به صورت ساده می‌توان این پارادکس را این گونه توضیح ‌داد:

بعضی از مجموعه‌ها هستند که عضوی از خود می‌باشند. مثلا شما تصوراتی در ذهن از اشیای بیرونی دارید که به آنها تصورات‌ ذهنی گفته‌ می‌شود. حال مجموعه‌ای از این تصورات را در نظر‌ بگیرید، خود این مجموعه‌ در نظر گرفته شده باز یک تصور ذهنی است. لذا مجموعه تصورات ذهنی عضو خودش می‌باشد. و همچنین مجموعه مفهوم‌ها خود یک مفهوم است. بطور مثال مفهوم خانه، مفهوم کتاب و مفهوم کلاس و.... را در نظر می‌گیریم. حال اگر این مفاهیم را که مفاهیم ذهنی هستند در یک مجموعه‌ای بنام G تصور ‌بکنیم. از آنجایی که مجموعه G خود یک امر ذهنی است، لذا خود یک مفهوم می‌باشد. در حالی که اگر مجموعه انسان‌ها را در نظر بگیریم واضح است که مجموعه انسان‌ها دیگر انسان نیست. توضیح مطلب اینکه مجموعه‌ای از انسانها را تصور کنید. مجموع این جمع خصوصیات یک انسان را ندارد یعنی مجموع این افراد بصورت واحد یک بینی داشته باشند و برای همه آنها فقط یک سر وجود داشته باشد و همچنین بقیه خصوصیات یک انسان را مجموعه، به عنوان یک فرد ندارد. هر چند که افراد آن همه خصوصیات انسانی را دارا هستند. لذا مجموعه انسان‌ها به عنوان مجموعه، خصوصیات انسانی ندارد. بنابراین مجموعه‌ انسانها، مجموعه‌ای است که عضو خودش نیست. به عبارتی این مجموعه با کلیت خود یک انسان نیست بلکه مجموعه افراد انسان‌ها می‌باشد. و همچنین مجموعه اعداد فرد، خود عدد فرد نیست. برای توضیح بیشتر فرض ‌کنیم مجموعه اعداد فرد با S مشخص شود.

{X⃒ X=2K+1 , K∈ℤ} = { اعداد فرد}=S

توضیح: ℤ مجموعه اعداد صحیح را نشان می‌دهد. خود مجموعه S فرد نیست. به عبارتی S اصلا عدد نیست تا اینکه بحث از فرد یا زوج بودن آن بکنیم. پس S داخل خود نمی‌باشد (زیرمجموعه خود نمی‌باشد.).

در نتیجه همه مجموعه‌ها را می‌توان به صورت دو مجموعه A و B که جدا از هم هستند نوشت:

مجموعه :A مجموعه مجموعه‌هایی است که عضو خود نیستند.

مجموعه B: مجموعه مجموعه‌هایی است که عضوی از خود هستند.

این دو مجموعه دو ویژگی دارند. نخست اینکه کاملا از هم جدا هستند. یعنی اشتراکی با هم ندارند. و دوم اینکه همه مجموعه ها یا عضو A هستند؛ و یا عضو B می‌باشند.

حال مجموعه‌ A را در نظر می‌گیریم . دقت کنید که ویژگی مجموعه A این است که اعضای آن که خود مجموعه‌اند عضو خود نمی‌باشند. دو حالت برای مجموعه A پیش‌رو داریم: یا مجموعه A عضوی از خود می‌باشد؛ یا نه. حالت اول: اگر مجموعه A عضوی از خود باشد در اینصورت ویژگیی را که تمام اعضای خودش دارند(عضوی از خود نبودن)، دارا است لذا بنابر این‌ ویژگی عضو خود نخواهد بود. یعنی در عین اینکه عضو خود است، عضو خود نخواهد بود. حالت دوم: اگرمجموعه A عضوی از خود نباشد، پس ویژگی عضو خود نبودن را ندارد. به عبارتی ویژگی عضو خود بودن را دارد؛ بنابراین عضو خود می‌باشد. یعنی در حین اینکه عضو خود نیست، عضو خود باشد. بنابراین در هر دو حالت تناقض پیش می‌آید.

در نتیجه مجموعه A که این ویژگی را دارد که مجموعه‌ مجموعه‌هایی است که عضو خود نیستند، خود‌ش عضو خودش است. که این یک تناقض است. [17]

توضیح پارادکس با عبارتی دیگر

اگر مجموعه A عضو خود نباشد، طبق ویژگی که دو مجموعه A و B دارند(هرمجموعه‌ای یا عضو A است و یا عضو B است.) می‌شود نتیجه ‌گرفت که مجموعهA، عضو B است. از طرفی گفتیم که A و B کاملا از هم جدا(و متباین) هستند. واگر مجموعه A عضو خود باشد، طبق ویژگی A(A مجموعه‌ای است که اعضایس عضو خود نمی‌باشد.)، نتیجه می‌شود که عضو خود نیست. بنابراین در هر دو حالت تناقض پیش‌ می‌آید.

به صورت مدل نظریه مجموعه‌ها می‌توان چنین‌ نوشت:

اگرA={x⃒x∉x؛ X نشانگر مجموعه‌هایی است که عضو خود نیستند، که کل این مجموعه‌ها را در یک مجموعه‌ای بنام A قرار داده‌ایم.

آنگاه آیا A∈A یا ? A∉Aقبول هر یک از این‌ دو، نتیجه‌اش پذیرش دیگری است[18].

توضیح

علامت ∈ به معنای عضو‌بودن است و ∌ به معنای عضو‌ نبودن می‌باشد.

به عبارتی دیگر، راسل بیان می‌کند که مجموعه A در عین حال که مجموعه است نه عضو خود است و نه عضو مجموعه B می‌باشد. و یا می‌توان چنین گفت: مجموعه A همزمان هم عضو خود است و هم عضو B . و این یک تناقض است.

از آنجایی که هدف اتمیسم منطقی آن بود که کل فلسفه را از داده‌های تجربی با استفاده ازقوانین منطق تبیین کند، لذا وجود پارادکس در قوانین منطقی یا درنظریه مجموعه‌ها که یکی از نتایج آن قوانین می‌باشد مانعی جدی‌ است.

راه‌حل پارادکس راسل

خود راسل که کاشف پارادکس بود به دو راهکار،«نظریه انواع[19]»، و،«اصل بطلان دور[20]»، این معضل را خواست حل ‌کند. او در سال 1908 برای حل تناقض مذکور و همچنین تناقض دروغگو نظریه معروف انواع را وضع کرد.[21]لازم به ذکر است که راسل علت پارادکس خود و پارادکس دروغگو را یکی می‌دانست. بنابراین راه‌حلی را هم که ارائه ‌داد برای هر دو مفید می‌دانست.

پارادکس دروغگو

در اینجا لازم است پارادکس دروغگو را توضیح بدهیم. این پارادکس عبارت است از جمله «این جمله دروغ است». در مورد صدق یا کذب این جمله هیچ اظهار‌نظری نمی‌توان‌ کرد. زیرا اگر جمله «این جمله دروغ است» را صادق بدانیم، در این صورت خود جمله به ما این را بیان می‌کند که کاذب است. و اگر جمله مذکور را کاذب بدانیم، در این صورت باید نقیض مفهوم جمله صادق باشد؛ خود مفهوم جمله کاذب بودن جمله است. و نقیض آن صادق بودن جمله خواهد‌شد. بنابراین در عین حال که جمله را کاذب دانستیم؛ در همان حال صادق بودن آن را ‌پذیرفتیم. واین تناقضی آشکار است.

نظریه انواع (تئوری طبقات)

قضیه «X فانی است» را در نظر بگیرید می‌توانیم بجای X موضوعات دیگر رانیز قرار‌دهیم که قضایای ایجاد‌شده همه صادق باشند بنابر این میتوان قضیه صادق‌‌ «سقراط فانی است» را نوشت. ولی موضوعاتی هم هست که اگر بجای X گذاشته ‌شوند قضیه را نه صادق و نه کاذب می‌کنند، بلکه بی‌معنی خواهد ‌کرد. به طور مثال «مجموعه انسانها فانی است» بی‌معنی است. به عبارتی مجموعه انسانها از آن جهت که مجموعه است؛ انسان نمی‌باشد. زیرا مجموعه انسانها شیء یا عینی نیست که فناپذیری یا فناناپذیری بتواند به نحو معنی‌داری بر آن حمل ‌شود. این جمله شبیه جمله «دیوار بینا است» می‌باشد یعنی معنایی بر آن مترتب نمی‌شود. از جمله «اگرX انسان است،آنگاه X فانی است» می‌توانیم استنتاج کنیم که «اگر سقراط انسان است، آنگاه سقراط فانی است» ولی نمی‌توان استنتاج‌ کرد که مجموعه انسانها فانی است. چه مجموعه انسانها نه انسان است و نه می‌تواند انسان باشد. به عبارتی مجموعه انسانها نمی‌تواند عضو خودش باشد. مثال خود راسل: یک باشگاه مجموعه‌ای از افراد است. و می‌تواند عضو مجموعه‌ای از طبقه دیگر نظیر انجمن باشگاه‌ها- که مجموعه‌ای از مجموعه‌ها‌ست – باشد. ولی نه مجموعه و نه مجموعه‌‌ مجموعه‌ها نمی‌تواند عضوی از اعضای خود باشد. لذا اگر تفاوت‌های بین طبقات ملحوظ گردد، پارادکس در منطق مجموعه‌ها پیش نمی‌آید.[22]

اصل دور باطل

راه‌حل دوم راسل: وی معتقد بود این پارادکس به خاطر دخالت کردن اصلی به نام اصل دور باطل به وجود می‌آید. توضیح روشن از این اصل این است که:

هیچ مجموعه‌ای را نمی‌توان با شرطی مشخص کرد که خود آن مجموعه نیز مشمول آن شرط شود.

در بالا ما مجموعه A را با شرط عدم عضویت خود در خودش ایجاد کردیم. راسل می‌گوید در شرط کردن، نباید خود مجموعه نیز داخل آن شرط باشد. شرط مجموعه A عبارت است از «عضو خود نبودن» در واقع ما می‌خواهیم با آوردن کلمه «خود» که دلالت بر مجموعه A می‌کند خود مجموعه A را ایجاد(تعریف) کنیم. به عبارتی خود A، شرطی برای A می‌شود. که این مسئله دور باطل است.[23] به طور عامیانه ما ساختمانی می‌سازیم (ساختن مجموعه)؛ حال می‌خواهیم کل این ساختمان را در درون خودش قرار‌دهیم. فرض کنید از اجزاء و شروط این ساختمان وجود اتاق‌هایی باشد. حال میخواهیم خود این ساختمان را با همه اتاقهایش داخل یکی از آن اتاقها قرار دهیم که داخل خود ساختمان است. راسل می‌گوید ایجاد بعضی مجموعه‌ها درست همانند ساختن ساختمان مذکور است.

انتقادات وارد بر راه‌حل راسل

1- راه‌حلهای راسل باعث یک سری مشکلات شد از که از جمله آنها اثبات بی‌نهایت بودن اعداد طبیعی بود. بنابراین راسل مجبور شد برای حل این معضل، اصول موضوعه جدیدی را در کتاب «اصول ریاضیات»[24]، معرفی ‌کند. به وسیله این اصول بی‌نهایت بودن اعداد طبیعی را اثبات‌ می‌کرد؛ ولی ادعای اینکه حساب کاملا به مبانی منطقی برگردانده شده است را تضعیف می‌کند.[25]

2- با اینکه راه‌حل‌های راسل برای جلوگیری از پارادکس‌ها مانع از آنها می‌شود اما جلوی بعضی از نتایج مطلوب را نیز می‌گیرند. بطور مثال جمله «این جمله درست است» با اینکه شرایط اصل دور باطل در آن است ولی جمله‌ بدون مشکلی می‌باشد. لذا همه دور‌هایی که از طریق اصل دور باطل کنار گذاشته می‌شوند، باطل نیستند.[26]

راه‌حل دیگر برای پارادکس راسل

راه‌حل تارسکی[27]: سلسله مراتب زبانها

بحث تارسکی این است که علت چنین پارادکسی یکسان دانستن زبان‌ موضوعی و فرا‌زبان می‌باشد. خلاصه این پاسخ این چنین است که وقتی در جمله‌ای از خود آن جمله حرف می‌زنیم، در واقع ما از یک زبانی فراتر از زبان فعلی استفاده می‌کنیم. بنابر این پارادکس هنگامی متوجه جمله‌ای می‌شود که ما دو زبان را یکی بدانیم. برای روشن شدن مطلب مثالی را از زبان برنامه نویسی کامپیوتر می‌زنیم. [28] اطلاعات کامپیوتر بوسیله اعداد صفر و یک ذخیره می‌شود. و حال آنکه یک زبانی فراتر مثلا داس را برای برنامه نویسی در نظر می‌گیرند. وقتی پارادکس پیش می‌آید که ما برای صحبت کردن از زبان صفر و یک، از خود زبان صفر و یک استفاده ‌کنیم. در حالی که اگر از زبان داس استفاده کنیم دیگر پارادکسی ایجاد نمی‌شود. در جمله پارادکسیکال «این جمله کاذب است» مفهوم جمله بوسیله زبانی فراتر (فرا زبان) از زبان عرفی (زبان موضوعی) بیان شده‌است. با اینکه ساختار نحوی و گرامری این دو زبان در این مثال یکی است. یعنی هردو زبان از ساختار زبان فارسی استفاده می‌کنند. اما یکی زبان موضوعی است؛ زبانی که در مورد آن صحبت می‌شود. و دیگری فرازبان است؛ زبانی که بوسیله آن کذب بودن به زبان موضوعی نسبت داده ‌می‌شود. البته این پاسخ به راه‌حل خود راسل خیلی شبیه است[29].[30]